Пушков Алексей Константинович родился 10 августа 1954 г. в семье советского дипломата в Китае. Отец, Пушков Константин Михайлович (1921—2019), сотрудник Генерального консульства СССР в Пекине. Мать, Пушкова Маргарита Владимировна (1927—2007), китаист, переводчик, преподаватель китайского языка.
Учился в московской спецшколе № 12 с углублённым изучением французского языка имени В. Д. Поленова (Спасопесковский переулок, дом 6, стр. 7).
Окончил в 1976 году МГИМО МИД СССР по специальности «международные отношения». Работал в ООН (Женева).
В 1979 году защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата исторических наук по теме «Кризис основных политических концепций англо-американской буржуазной „советологии“» (специальность 07.00.04. — «история коммунистического и рабочего движения и национально-освободительных движений»).
В 1988—1991 годах был спичрайтером Михаила Горбачёва.
В 1991—1995 годах являлся заместителем главного редактора еженедельника «Московские новости» по международному направлению; в этом качестве был шеф-редактором английского, французского, немецкого и испанского изданий газеты.
В 1993—2000 годах — член редакционной коллегии американского журнала Foreign Policy, издаваемого Фондом Карнеги в Вашингтоне. В 2004 году являлся членом Наблюдательного совета Московского фонда Карнеги.
С 1993 года — член и постоянный эксперт Всемирного экономического форума в Давосе.
В 1995—1996 годах — заместитель генерального директора — директор Дирекции по связям с общественностью и СМИ ОРТ, а с 1996 по 1998 год — директор Дирекции международных связей этого телеканала. Являлся политическим обозревателем «Независимой газеты», вёл рубрику «Личное мнение».
С 1998 года — руководитель и ведущий программы «Постскриптум» на телеканале «ТВ Центр».
С 2002 года — член редколлегии американского журнала «Нэшнл интерест» (National Interest), издаваемого Центром Никсона (Center for the National Interest) в Вашингтоне. С 2005 года является членом Лондонского Международного Института стратегических исследований.
В 2004—2016 годах — член Президентского совета по развитию гражданского общества.
В 2008—2011 годах — директор Института актуальных международных проблем (ИАМП) Дипломатической академии МИД РФ.
В 2009 году стал лауреатом Бунинской премии за книгу «Путинские качели. Постскриптум: десять лет в окружении».
В 2011 году избран депутатом Государственной думы РФ VI созыва по спискам партии «Единая Россия», не являясь её членом. Назначен председателем Комитета по международным делам Государственной думы. Член фракции «Единой России» в Госдуме.
С 2012 года — глава делегации Федерального собрания РФ в ПАСЕ (Страсбург). Вице-президент и член Бюро ПАСЕ.
В 2016 году проиграл праймериз «Единой России» в Пермском крае, но был выдвинут этой партией в составе партийного списка в Законодательное собрание Пермского края. По итогам выборов 18 сентября 2016 года одержал победу в 23-м избирательном округе, а 29 сентября того же года, на заседании краевого парламента, был избран его представителем — членом Совета Федерации Федерального собрания Российской Федерации. В 2016—2017 годах был членом Комитета Совета Федерации по обороне и безопасности, с 2018 года является членом Комитета Совета Федерации по конституционному законодательству и государственному строительству. 26 октября 2016 года избран председателем временной комиссии Совета Федерации по информационной политике и взаимодействию со средствами массовой информации.
15 января 2020 года, по распоряжению В. В. Путина, был включён в состав рабочей группы по подготовке предложений о внесении поправок в Конституцию.
Является членом Попечительского совета МГИМО, Российского Совета по международным делам, Императорского Православного Палестинского Общества, Общественного Совета при Следственном комитете РФ.