Громов Алексей Алексеевич родился в 1960 году в Загорске (Сергиев Посад) Московской области
В 1982 году окончил исторический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, кафедра южных и западных славян.
В 1982—1996 годах работал в МИД СССР, МИД РФ:
1982—1985 годах — секретарь Генерального консульства СССР в Карловых Варах, ЧССР;
1985—1988 годах — атташе Посольства СССР в Праге, ЧССР;
1988—1991 годах — третий, второй секретарь секретариата заместителя Министра иностранных дел СССР;
1991—1992 годах — первый секретарь Общего секретариата МИД СССР, МИД РФ;
1992—1993 годах — консул Генерального консульства РФ в Братиславе, Словакия;
1993—1996 годах — советник Посольства РФ в Братиславе, Словакия.
В 1996—2000 годах — работал руководителем пресс-службы, затем начальником Управления Пресс-службы Президента Российской Федерации.
4 января 2000 года назначен пресс-секретарем Президента Российской Федерации.
12 мая 2008 года назначен Заместителем Руководителя Администрации Президента Российской Федерации
Владеет чешским, словацким и английским языками.
Женат. Два сына: Алексей и Данила.